前面在《利用编程解决生活中物理问题（三）》中，我们已经介绍过水平方向弹簧振子简谐运动。今天我们将分析竖直方向弹簧振子的运动规律，并通过编程展示其复杂的动态过程。

其实竖直方向弹簧振子有很多种组合类型，我们重点列出以下3种，例如

类型1：将轻质弹簧竖直放置在水平地面上，物体压在弹簧上（图 1）。

类型2：将轻质弹簧上端固定在天花板上，物体悬挂于弹簧之下（图 2）。

类型3：用两根轻质弹簧将物体悬挂起来（图3）。

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首先我们回顾一下简谐运动的概念。

由弹簧振子的振动可知，如果物体受到的力的大小总是与物体对其平衡位置的位移成正比而方向相反，那么该物体的运动就是简谐运动。这种性质的力称为回复力。

下面我们来证明图 2中弹簧振子运动是简谐运动。

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已知物体的质量为  ，弹簧是轻质弹簧（质量忽略不计），弹簧的劲度系数为  。

通过对弹簧振子系统进行受力分析，我们可以得知在物体运动过程中，回复力由物体重力和弹簧弹力的合力提供。

当物体静止悬挂于弹簧下时，此时所处的位置为平衡位置，即上图中O点位置。在此位置物体重力等于弹簧拉力，即合力为零。假设此时弹簧伸长  ，则有  。

若将物体向下拉动一段距离后静止释放，物体便在某两点之间往复运动。我们假设经过B点时，偏离平衡位置的位移大小为  ，那么该位置弹簧的形变量为  ，物体受到的回复力大小为  ，即回复力与物体偏离平衡位置的位移大小成正比，并且合力方向向上，与此时位移方向相反。

同理，物体经过O点上方的C点时，物体偏离平衡位置的位移大小为  ，那么该位置弹簧的形变量为  ，物体受到回复力大小为  ，也是和物体偏离平衡位置的位移大小成正比，并且合力方向向下，与此时位移方向相反。

因此，我们可以得出竖直平面内弹簧振子也做简谐运动。根据简谐运动规律，弹簧振子运动时，物体相对平衡位置的位移按余弦（或正弦）函数关系随时间变化。

事实上，C是B关于平衡位置O的对称点，物体通过这两个点时具有相同大小的速度、加速度、位移、回复力。

下面，我们通过Matlab编程直观地展示竖直方向弹簧振子运动过程。

在前面《让高考物理“动”起来——弹簧篇》中，我们已通过Python编程对弹簧进行了仿真，由于Python库中有现成的弹簧模型，所以相对来讲建模方便很多。

而Matlab中没有现成的弹簧模型，需要通过编程“画”出来，过程会稍微繁琐一点。但是笔者认为，平时每种编程软件都掌握一些，到真正开始编程的时候就不会受限于某一个工具，这样解决任何问题也都会得心应手。

详细代码如下：

clc;clear;close all;figHandle = figure;set(figHandle, 'position', get(0,'ScreenSize'));%画弹簧连接的顶板% rectangle命令使用方法% rectangle ('position’,[x,y,w,h],’curvature’,[xc,yc])% x、y为左下顶点坐标，w、h为长方形的宽和高，xc、yc为曲率rectangle('position',[12,8,2,0.3],'FaceColor',[0.5,0.5,0.5]);% 设定坐标轴范围axis([0,15,-10,10]);set(gca,'xtick',0:1:15);set(gca,'ytick',-10:1:10);hold on%画弹簧与顶板的连接线plot([13,13],[7,8],'b','linewidth',1.5);%绘制弹簧y=0:0.2:7;M=length(y);x=12.5+mod(1:M,2)*1;x(1)=13;x(end-3:end)=13;D=plot(x,y,'linewidth',1.5);% 绘制球C=0:pi/100:2*pi;r=0.3;t1=r*sin(C);%圆心横坐标为：x=13+r*cos(C)%圆心纵坐标为：y=0+r*sin(C)ballHandle=fill(13+r*cos(C),r*sin(C),'r');%绘制平衡位置plot([0,15],[0,0],'black');% 句柄[绿线]H1=plot([0,13],[0,0],'g','linewidth',1.5);% 运动曲线Q=plot(0,0,'color','r','linewidth',1.5);td=[];yd=[];text(4,9,'竖直方向弹簧振子简谐运动仿真','fontsize',16);set(gcf,'doublebuffer','on');%设置弹簧振幅ampltitude = 4;for T=0:0.01:12 pause(0.02); Dy=(1-ampltitude/7*sin(pi*T)); Y=-y*Dy+7; Yf=Y(end)+t1; td=[td,T]; yd=[yd,Y(end)]; set(D,'ydata',Y); set(ballHandle,'ydata',Yf); set(H1,'xdata',[T,13],'ydata',[Y(end),Y(end)]); set(Q,'xdata',td,'ydata',yd) ;end

程序运行结果：

▲横屏观看效果更佳哦~~~结合弹簧振子的运动图像（如下图所示），我们也能得出弹簧振子的振幅、周期、频率、初相位等参数。

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▲竖直方向弹簧振子简谐运动仿真图

从理论层面证明一个物体是否为简谐运动，不仅可以从运动学角度出发，分析位移随时间变化的关系；也可以从动力学角度出发，分析回复力与位移之间的关系。本文运用的就是后者方法。

当然，在解决简谐运动综合题目中，我们也要特别注意弹簧的原长点、平衡点、最高点、最低点等特殊位置。

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